Единицы должны быть последовательными, чтобы выполнять действительные вычисления. Соответствие единиц для общих величин в английской и метрической системах суммированы в таблице A-1.

Ниже приведены три закона движения Ньютона:

1. Объект в движении или в покое остается в движении или в покое, если на него не воздействует внешняя сила.

2. Для каждого действия имеется равнодействующее противодействие (ответная реакция).

3. Сила = масса * ускорение (F = ma)

Тело остается неподвижным или в равномерном движении по прямой линии, если оно не подвержено, чтобы изменять это состояние, воздействию внешних сил. Это фундаментальное допущение при выполнении структурного линейного статического анализа.

Статика подразумевает, что нет перемещения. Допущено, что анализированная структура не свободна для перемещения в любом направлении. К модели должны быть приложены достаточные ограничения, чтобы удалить все шесть жестких степеней свободы тела.

Диаграммы свободного тела и уравнения равновесия определяют пути нагрузки структуры. Математически это обеспечивается шестью уравнениями равновесия. Сумма усилий и сумма моментов в каждом направлении должны равняться нулю. Рассмотрите консольную балку на рисунке A-1.

Реакции на силу, F, должны существовать на ограничениях, как показано на рисунке A-2.

Для осуществления равновесия должно быть действительно следующее уравнение:

Оно может быть проверено математически по следующему уравнению:

Если ограничение является шарниром, вся балка будет просто вращаться, потому что шарнир не может взаимодействовать на момент. Простой шарнир не удаляет вращающуюся степень свободы жесткого тела. Тем не менее, полностью фиксированное ограничение может среагировать на моменты и Вы можете легко вычислить его величину.

Способность вычислять моменты, действующие на и в пределах структуры - полезный навык. Изгиб часто является причиной многократного максимального напряжения детали, так что это даёт возможность быстро выполнить вычисление вручную, чтобы подтвердить анализ модели.

Момент вычислен в специфической позиции и определен как следующее:

Приложенная сила, F, вызывает моменты в структуре, поскольку расположена на расстоянии от силы реакции, R. Кроме того, Вы можете видеть чистые моменты, приложенные к структуре. Чистые моменты передаются через систему с постоянной величиной.

Для статического равновесия, чтобы удерживать балку, показанную на рисунке A-3, сумма моментов должна равняться нолю.

Если момент положительный в направлении по часовой стрелке, сумма моментов следующая:

Так как чистый момент вычисляется в позиции силы реакции, R, сила самой реакции не производит никакого момента. Поэтому, имеет силу следующее уравнение:

Рассмотрите другой случай, показанный на рисунке A-4.

Эта балка просто поддерживается (шарнир) по обоим концам. Силы реакции существуют когда приложена внешняя сила. Для соблюдения равновесия должно иметь силу следующее уравнение (направление вверх считается положительным):

Одного этого уравнения не достаточно, чтобы определять величины R1 и R2. Должно быть использовано дополнительное уравнение равновесия моментов. Следующее уравнение вычисляет сумму моментов в позиции R1 (направление по часовой стрелке считается положительным):

Используя уравнения силы и равновесия моментов, величины R1 и R2 вычисляются следующим образом:

Дополнительно к определению реакции нагрузок, инженеры обычно вычисляют сдвиг и эпюры моментов для балок. Момент в поперечном сечении балки совместно с линейно-упругой теорией балки используется для определения изгибающего усилия балки.

Сдвиги и моменты рассчитаны в локализации сечения балки подобным способом, которым были определены выше реакции нагрузки. Рассматривайте сегмент балки только на одной стороне поперечного сечения. Представьте себе позицию поперечного сечения как фиксированное ограничение. Посмотрите схему балки, показанную на рисунке A-5.

Рисунок A-6 показывает только часть балки левее сечения A-A.

Величина V вычислена по следующему уравнению:

Следовательно,

Величина M вычислена по следующему уравнению:

Следовательно,

Если x больше, чем 10 дюймов, уравнения изменяются из-за дополнительного усилия. Тогда применяются следующие уравнения:

Следовательно,

Следовательно,

Эти результаты теперь могут отображаться наглядно созданием диаграмм сдвига и изгибающего момента, как показано на рисунке A-7.

Наглядно, Вы можете видеть, что максимальный момент для этой балки расположен непосредственно под приложенной нагрузкой. Величина момента, вместе с уравнением изгиба балки, может использоваться для вычисления напряжения в балке.

Важно заметить, что не возможно вычислить реакции нагрузки для каждой структуры, используя только равновесие. Рассмотрите диаграмму балки на рисунке A-8. Это подобно только что решенному случаю; тем не менее, концы фиксированы, вместо шарнира.

Есть теперь две дополнительных неизвестных, чтобы представлять моменты, переданные через концы балки: M1 и M2. В итоге теперь имеется четыре неизвестные, но есть только 2 уравнения равновесия, доступных для каждой плоскости. Могут быть записаны следующее уравнений равновесия силы и момента (в R1):

Эти уравнения не могут решаться однозначно. Даже если Вы пробуете создать другое уравнение момента в R2, Вы получаете следующее уравнение:

Следовательно,

Конечное уравнение является тем же самым уравнением, полученным раньше; следовательно, создание другого уравнения момента в R2 не помогает. Эта задача фактически разрешима вручную, но требует дополнительных уравнений, которые принимают во внимание жесткость структуры (теория упругости). Так как задачи становятся более комплексными, единственно исполнимым методом часто становится использование цифровых компьютерных методов.

Пока рассматривались только простые балки на отдельной плоскости. Одно из самых ценных использований уравнения равновесия, возможность вычислить реакции на нагрузку между различными компонентами сборки. Эта возможность позволяет Вам анализировать отдельный компонент сборки, а не пытаться моделировать целую структуру.

Напряжения

Основное определение напряжения является следующим:

Или,

Рассмотрите образец испытания на растяжение, показанный на рисунке A-9.

Применены следующие свойства:

Следовательно,

Как только напряжение будет определено, оно может быть использовано при сравнении свойств различных материалов. Обычно для сравнения используются предел текучести и предел прочности материала. Предел текучести - величина напряжения, которое материал может выдержать до возникновения остаточной деформации, тогда как предел прочности - напряжение, вызывающее разрушение материала.

Свойства материала могут быть показаны с использованием диаграммы деформация-напряжение, как показано на рисунке A-10.

Обратите внимание, начальная часть кривой - прямая линия. Это характеризует область упругих деформаций. Линейный статический анализ предполагает, что материал используется только в этой области упругих деформаций. Наклон кривой - коэффициент продольной упругости, E. По стандартам, предел текучести определен как уровень напряжения, при котором в материале отмечается остаточная деформация в 0.2%. Предел прочности - максимальный уровень напряжения, полученный перед разрушением.

Диаграмма на рисунке A-10 - идеализация. Металлы в действительности имеют чрезвычайно линейный первый сегмент, что не относится к некоторым материалам (пластмасса, резина). Хотя линейный анализ делает фундаментальным предположением линейность свойств материала, он все же часто используется с пластмассой и другими материалами. Чтобы быть более точным, нелинейный анализ может быть выполнен, но это более сложное и дорогое мероприятие. Очень часто бывает приемлемо аппроксимировать поведение материала как линейное, потому что может быть получено ценное понимание поведения компонента.

Пока рассматривался только случай одноосного напряжения. В трех измерениях имеется множество компонентов напряжения, как показано на рисунке A-11.

s указывает параллель нормального напряжения, действующего на плоскость, обозначенную нижним индексом. τ указывает напряжение при сдвиге, действующее на плоскость, обозначенную первым нижним индексом, и параллельно к плоскости, обозначенной вторым нижним индексом.

В любой точке компонента Вы можете представить себе бесконечно маленький куб. Каждая грань куба может взаимодействовать на нормаль напряжением растяжения к ее поверхности и напряжениями сдвига в двух других перпендикулярных направлениях.

Чтобы удовлетворять равновесию куба .

С множественными составляющими усилия, больше нет единой величины, которая может сравниваться с пределом текучести материала. Далее, если куб, показанный на рисунке A-11, переориентирован (то есть, используется другая система координат), величина напряжения изменяется. Рассмотрите двумерную ситуацию, показанную на рисунке A-12.

На диаграмме в левой части рисунка A-12 показано только нормальное напряжение. Если система координат вращается, по крайней мере часть напряжения в новой системе должна быть реакцией на сдвиг. Фактически, нормальные напряжения, которые должны также присутствовать, чтобы уравновешивать вертикальное сжатие, не показаны на диаграмме справа. Становится ясным то, что Вы не можете просто взять величину напряжения в произвольной системы координат. Возможно найти систему координат, в которой все напряжение могут быть выражены как чистые нормальные напряжения (просто через тригонометрию). Она названа Главной Системой Координат, а напряжения, выраженные в той системе, названы Главными Напряжениями. В 3D есть три главных обозначенные напряжения (1, 2 и 3), которые обычно устанавливаются в порядке уменьшения величины.

Рисунок A-13 поясняет три общепринятые теории отказа:

• Теория максимального главного напряжения

• Теория максимального напряжения при сдвиге (Tresca)

• Теория эквивалентных напряжений по гипотезе энергии формоизменения (Мизеса)

Каждая пытается предсказать податливость при общем состоянии напряжения.

Теория максимального главного напряжению заявляет, что когда максимальное главное напряжение превышает точку текучести материала, деталь деформируется. В последнее время для теории максимального напряжения при сдвиге предполагается, что податливость происходит от сдвига между атомами твердого тела. Наконец, теорию эквивалентных напряжений по гипотезе энергии формоизменения (Мизеса) (также называемой Энергией Искажения или Действительным Напряжением) было решено наиболее близко согласовать с экспериментальными данными для пластичных изотропных материалов.

В заключение, для большинства ситуаций Вы должны сравнивать рассчитанные эквивалентные напряжения Мизеса с текучестью материала для определения, способен ли компонент противостоять приложенным нагрузкам.